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           "Géométrie du Disque de Poincaré"

Première partie:  Introduction au Disque de Poincaré

Page 3 Un chapitre de prérequis sur les homographies, où il est rappelé sans démonstrations des résultats sur lesquels nous nous appuieront plus loin.

Page 5 Le chapitre 2 est consacré au Demi-Plan de Poincaré, qui sera le substrat sur lequel s’appuieront bien des démonstrations. On y définit les droites hyperboliques, la longueur hyperbolique, on y rencontre quelques isométries hyperboliques et on termine en présentant un procédé de calcul des distances.

Page 12 Le chapitre 3 est consacré à la transformation de Cayley, on en étudie quelques propriétés. Elle jouera le rôle de navette entre le Demi-Plan de Poincaré et le Disque de Poincaré. A la clef, il est donné un dictionnaire.

Page 16 Le chapitre 4 est consacré à la présentation du Disque de Poincaré. On y définit les droites hyperboliques, la longueur hyperbolique, on y rencontre quelques isométries hyperboliques ainsi qu’un procédé de calcul des distances. Il est introduit la transformation appelée rectificatrice, qui joue comme on le verra un rôle essentiel dans l’étude de la géométrie du Disque de Poincaré.

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Seconde partie: Exploration du Disque de Poincaré

Page 6 Le chapitre 6 présente le cercle hyperbolique, avec les notions de rayon hyperbolique et de centre hyperbolique et des procédés de construction.

Page 14 Le chapitre 7 est consacré aux horocycles, qui sont une extension de la notion de cercle hyperbolique, avec un centre situé sur le bord du Disque de Poincaré.

Page 18 Le chapitre 8 aborde les notions de perpendicularité et de parallélisme. Puis il introduit la notion d’équidistantes (appelées hypercycles parfois

Ces trois chapitres débouchent sur un chapitre consacré à quelques exercices d’assimilation.

Page 36 Le chapitre 9 nous amène à prendre un peu de hauteur en nous interrogeant sur les différences entre les géométries euclidienne et hyperbolique, et à nous intéresser à la géométrie que Boliay appelait « absolue ».

Page 43 Dans le chapitre 11 nous intéresserons aux médiatrices et aux bissectrices et obtiendrons des résultats relatifs au Disque de Poincaré grâce à la seule géométrie absolue. 

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Troisième partie : La quadrature du cercle hyperbolique

Page 4 Chapitre 11 : on y démontre la loi des cosinus et le théorème de Pythagore hyperbolique.

Page 9 Chapitre 12 : on explore le triangle hyperbolique et l’on calcule son aire.

Page 18 Chapitre 13 : on étudie sommairement les quadrilatères du disque de Poincaré, on y définit le carré hyperbolique et l’on prépare le terrain au chapitre suivant :

Page 24Chapitre 14 : consacré à la quadrature du cercle hyperbolique, avec des réalisations concrètes. 

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 Une quatrième partie consacrée aux isométrie verra le jour plus tard.