Avertissement

 

Une démarche non académique

    Il me faut prévenir le lecteur : le travail que je présente ne ressemble ni à un manuel de classe préparatoire, ni à un mémoire universitaire, ni à un cours bien léché. Il n’en a ni la rigueur, ni l’achèvement des choses parfaitement dominées, ni l’assurance que donnent les chemins maintes fois parcourus derrière un guide au pas sûr. On pourra certainement trouver cela regrettable, se dire que telle ou telle démonstration fait fi de cas particuliers, pointer des maladresses et trouver des raccourcis dont on s’étonnera qu’ils aient échappés à l’auteur, se demander pourquoi telle démonstration est détaillée au possible et telle autre à  peine esquissée, et on aura souvent raison. C’est tout ce que je souhaite au lecteur, à qui je livre un travail qu’il pourra améliorer, s’approprier, bref qui le rendra co-auteur.

    La genèse de ce blog prend ses racines dans ce qui, au tout début, n’était pour moi qu’un jeu : à l’aide du logiciel Maple, construire en parfait dilettante, dans le disque de Poincaré, des droites, puis des segments, calculer leur longueur, en trouver le milieu, les points tiers, tracer des perpendiculaires, etc…. J’ai fini par prendre des notes pour pouvoir revenir sur mes pas sans avoir à refaire tous les calculs. Puis j’ai avancé, je suis passé au cercle hyperbolique etc… Je ne répondais qu’aux questions que je me posais et ne me préoccupais pas de rigueur : si je parvenais à produire le dessin projeté, je passais à l’étape suivante sans peaufiner quoique ce soit. Évidemment, les algorithmes finissaient tôt ou tard par coincer, les certitudes par être mises à mal, et je devais revenir sur mes pas, constater que tel cas particulier revenait souvent bloquer les calculs, qu’il n’était pas si anecdotique que ça, que je devais le traiter avec davantage de respect que je n’en avais témoigné, et que si le cercle circonscrit (euclidien!) au triangle hyperbolique ne passait pas exactement par le point de concours des médiatrices hyperboliques, ce n’était pas la faute au logiciel. Le lecteur comprendra donc que ma démarche n’est pas académique, et qu’elle est guidée par le seul plaisir que me procure l’activité mathématiques dans sa dimension de réalisations concrètes (des dessins) et de découvertes de conjectures. Trop souvent, les manuels du supérieur vont droit aux généralisations abstraites. C’est sûrement très personnel, mais je trouve qu’alors j’y perd quelque chose, que je ne sais pas nommer. S’il n’y avait pas eu ce plaisir du dessin beau comme un bébé longtemps attendu, du problème non résolu qui tourne indéfiniment dans la tête, je n’aurais certainement pas poursuivi.

   L’appétit vient en mangeant, chacun sait cela. Je suis allé voir ce qui se publiait sur Internet, j’y ai trouvé de la très bonne documentation. Je me dois de mentionner tout particulièrement les excellents polycopiés de Pierre Audibert, qui nous a hélas quitté cet été, et à qui j’ai énormément emprunté dans les premiers chapitres des notes que je présente. Je n’oublie pas non plus ici le polycopié remarquablement pédagogique de Jean-Philippe Préaux consacré à la géométrie hyperbolique. J’ai découvert également le site de Roger Cuppens et ses deux ouvrages consacrés aux géométries non-euclidiennes, avec une illustration abondante réalisée avec le logiciel Cabri-géomètre : ils m’ont été plutôt hermétiques, trop érudits et allusifs, mais ils ne manqueront pas d’intéresser le lecteur ayant une très solide culture géométrique, et fourniront matière à réflexion. J’ai considérablement amélioré mes notes et trouvé matière à de nouveaux défis. Je ne voudrais surtout pas laisser entendre au lecteur que j’ai relevé avec succès l’ensemble des problèmes que je me suis posé : il s’en faut de beaucoup ! La démarche mathématique choisie, celle d’un va-et-vient entre le disque de Poincaré et le demi-plan, si elle rend très simple la résolution de problèmes tels que la recherche de perpendiculaire commune à deux droites hyperboliques ultraparallèles, limite évidemment le champ de ce qui peut être obtenu, et qui pourrait être élargi en utilisant la description des homographies et les notions basiques de la géométrie projective, qui sont les préliminaires de la plupart des textes que j’ai pu consulter.

 L’étude du problème de la quadrature du cercle hyperbolique me semblait tellement hors de portée que je n’ai jamais envisagé de l’aborder. C’est à force de fureter à gauche et à droite, presque par hasard en somme, que j’ai découvert quelques (« quelques » ? une infinité ! …) cercles hyperboliques pour lesquels la quadrature est théoriquement possible, dont certains pour lesquels elle est vraiment réalisable, je veux dire avec un excellent compas, une règle, une feuille de papier et une planche à dessin. Le résultat est connu, mais je n'en ai trouvé nulle part la preuve, et la démarche ai-je pensé, pourra peut-être intéresser quelques personnes, d’autant qu'elle ne requiert, finalement, que des connaissances mathématiques très basiques, disons du niveau de la licence 1 de maths, ce qui m’a bien surpris et ce pourquoi je la rends publique. Je livre les choses telles que je les ai obtenues, j’ose dire : dans toute leur fraîcheur. Le lecteur avisé saura bien, encore une fois, améliorer tout cela et aller plus loin.

Bonne lecture !

Pierre Osadtchy